Строительная механика. Архив рубрики: Строительная механика Связи в строительной механике

Московская государственная академия коммунального хозяйства и строительства

Кафедра строительной механики

Н.В.Колкунов

Пособие по строительной механике стержневых систем

ч. 1 Статически определимые стержневые системы

Москва 2009

Глава 1.

1. Введение

Строительство - древнейшая и ответственейшая область деятельности человека. Испокон веков строитель был ответственен за прочность и надежность возводимого им сооружения. В законах вавилонского царя Хаммураби (1728 – 1686 г.г. до нашей эры) записано (рис.1.1):

«…если строитель возвел дом, то за каждый музар жилой площади (≈ 36 м 2) он получает два шекеля серебра (228),

если строитель построил недостаточно прочный дом, он обрушился и при этом погиб хозяин, то строитель должен быть убит (229),

если при обрушении дома погиб сын заказчика, то должен быть убит сын строителя (230),

если в результате обрушения погибнет раб заказчика-хозяина, то строитель должен передать хозяину равноценного раба (231),

если строитель построил дом, но не проверил надежность конструкции, в результате чего обрушилась стена, то он должен за свой счет построить стену заново (232) …»

Строительство возникло с появлением человека разумного, который, не зная законов природы, накапливая практический опыт, возводил жилища и другие необходимые сооружения. В том числе гениальные сооружения Египта, Греции, Рима. До середины XIXвека зодчий в одном лице решал все художественные и технические задачи проектирования и возведения здания лишь на основе своего практического опыта. Так в 448 – 438 годах до н.э. зодчими Иктином и Калликратом под руководством Фидия был построен Парфенон в Афинах. Так работали и наши безымянные зодчие, возводившие великолепные храмы по всей Руси, и великие зодчие с великими именами: Барма и Постник, Растрелли и Росси, Баженов и Казаков и многие другие.

Опыт заменял знание.

Когда знаменитый русский зодчий Карл Иванович Росси строил в 1830 году в Петербурге здание Александринского театра, то многие видные деятели во главе с известным инженером Базеном усомнились в прочности громадных металлических стропильных арочных ферм, запроектированных Росси, и добились приостановки строительства. Оскорбленный, но уверенный в своей интуиции Росси писал министру двора:”…В случае, когда бы в упомянутом здании от устройства металлической крыши произошло бы какое-либо несчастье, то впример для других пусть тотчас же меня повесят на одной из стропил”. Этот аргумент подействовал не менее убедительно, чем расчетная проверка, которую нельзя было применить для решения спора, так как метода расчета ферм не существовало.

Начиная с эпохи возрождения начал развиваться научный подход к расчету сооружений.

2. Цель и задачи строительной механики

Строительная механика – важнейший инженерный раздел большой отрасли науки, механики деформируемого твердого тела. Механика деформируемого твердого тела опирается на законы и методы теоретической механики, в которой исследуются равновесие и движение абсолютно твердых объектов.

Наука о методах расчета сооружений на прочность жесткость и устойчивость называется строительной механикой.

Точно так же была сформулирована задача в сопротивлении материалов. Это определение в принципе правильное, но не точное. Рассчитать конструкцию на проч- ность –это значит найти такие размеры сечений ее элементов и такой материал, чтобы была обеспечена ее прочность при заданных воздействиях.. Но ни сопротивление материалов, ни строительная механика таких ответов не дают. Обе эти дисциплины дают лишь теоретические основы для расчета на прочность. Но без знания этих основ невозможен ни один инженерный расчет.

Чтобы понять сходство и различие сопротивления материалов и строительной механики нужно представить структуру всякого инженерного расчета. Он всегда включает в себя три этапа.

1.Выбор расчетной схемы. Рассчитать реальное, даже самое простое сооружение или конструктивный элемент, учитывая, например, возможные отклонения его формы от проектной, особенности структуры и физическую неоднородность материала и т п., невозможно. Всякое сооружение идеализируется, выбирается расчетная схема, отражающая все основные особенности работы сооружение или конструкции.

2. Анализ расчетной схемы. Используя теоретические методы выясняют закономерности работы расчетной схему под нагрузкой. При расчете на прочность получают картину распределения возникающих внутренних силовых факторов. Выявляются те места в конструкции, в которых могут возникнуть большие напряжения..

3. Переход от расчетной схемы к реальной конструкции. Это этап конструирования.

Сопротивление материалов и строительная механика “работают” на втором этапе.

В чем отличие строительной механики от сопротивления материалов?

В сопротивлении материалов изучается работа бруса (стержня) при растяжении, сжатии, кручении и изгибе. Здесь закладываются основы расчета на прочность разнообразных конструкций и сооружений.

В строительной механике стержневых систем рассматривается расчет комбинаций из стержневых элементов, соединенных жестко или шарнирно. Результатом расчета служат, как правило, значения внутренних силовых факторов (расчетных усилий) в элементах расчетной схемы.

В каждом нормальном сечении стержневой конструкции поле напряжений в общем случае может быть приведено к трем внутренним силовым факторам (внутренним усилиям)– изгибающему моменту М, поперечной (перерезывающей) силе Qи продольной силеN

(рис.1.2). Они и определяют “работу”как Рис.1.2

каждого элемента, так и всего сооружения. Зная М, QиNво всех сечениях расчетной схемы сооружения, еще нельзя ответить на вопрос о прочности сооружения. Ответить на вопрос можно только “добравшись” до напряжений. Эпюры внутренних усилий позволяют указать на самые напряженные места в конструкции и, используя известные из курса сопротивления материалов формулы, найти напряжения. Например, в сжато изогнутых в одной плоскости стержневых элементах максимальные нормальные напряжения в крайних волокнах определяются по формуле

(1.1)

где W– момент сопротивления сечения.A– площадь сечения, М – изгибающий момент,N– продольная сила.

Используя ту или иную теорию прочности, сравнивая полученные напряжения с допускаемыми (расчетными сопротивлениями) можно ответить на вопрос, выдержит ли конструкция заданную нагрузку?

Изучение основных методов стержневой механики позволяет перейти к расчету пространственных, в том числе тонкостенных, конструкций

Таким образом, строительная механика представляет собой естественное продолжение курса сопротивления материалов, где его методы применяются и развиваются для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) расчетных схем конструкций и элементов различных инженерных сооружений и машин. В различных специализированных вузах изучают “строительную механику самолета”, “строительную механику корабля”, “cтроительную механику ракет” и т.п. Поэтомустроительную механику можно назвать специальным сопротивлением материалов.

В течение учебного года изучаются методы расчета (определения внутренних усилий) в самых распространенных расчетных схемах, применяемых в строительной практике.

Вопросы для самоконтроля

1.Какие задачи изучаются в курсе строительной механики стержневых систем?

2. Какие этапы предполагает всякий инженерный расчет?

3. Как соотносятся учебные курсы сопротивления материалов и строительной механики?

Предисловие.... 3
Введение.... 7
Глава 1. Кинематический анализ сооружений.... 14
§ 1.1. Опоры.... 14
§ 1.2. Условия геометрической неизменяемости стержневых систем.... 16
§ 1.3. Условия статической определимости геометрически неизменяемых стержневых систем.... 23

Глава 2. Балки.... 27
§ 2.1. Общие сведения.... 27
§ 2.2. Линии влияния опорных реакций для однопролетных и консольных балок.... 31
§ 2.3. Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил для однопролетных и консольных балок.... 34
§ 2.4. Линии влияния при узловой передаче нагрузки.... 38
§ 2.5. Определение усилий с помощью линий влияния.... 41
§ 2.6. Определение невыгоднейшего положения нагрузки на сооружении. Эквивалентная нагрузка.... 45
§ 2.7. Многопролетные статически определимые балки.... 51
§ 2.8. Определение усилий в многопролетных статически определимых балках от неподвижной нагрузки.... 55
§ 2.9. Линии влияния усилий для многопролетных статически определимых балок.... 59
§ 2.10. Определение усилий в статически определимых балках с ломаными осями от неподвижной нагрузки.... 62
§ 2.11. Построение линий влияния в балках кинематическим методом.... 64

Глава 3. Трехшарнирные арки и рамы.... 70
§ 3.1. Понятие об арке и сравнение ее с балкой.... 70
§ 3.2. Аналитический расчет трехшарнирной арки.... 73
§ 3.3. Графический расчет трехшарнирной арки. Многоугольник давления.... 82
§ 3.4. Уравнение рациональной оси трехшарнирной арки.... 87
§ 3.5. Расчет трехшарнирных арок на подвижную нагрузку.... 88
§ 3.6. Ядровые моменты и нормальные напряжения.... 95

Глава 4. Плоские фермы.... 98
§ 4.1. Понятие о ферме. Классификация ферм.... 98
§ 4.2. Определение усилий в стержнях простейших ферм.... 101
§ 4.3. Определение усилий в стержнях сложных ферм.... 118
§ 4.4. Распределение усилий в элементах ферм различного очертания.... 121
§ 4.5. Исследование неизменяемости ферм.... 125
§ 4.6. Линии влияния усилий в стержнях простейших ферм.... 133
§ 4.7. Линии влияния усилий в стержнях сложных ферм.... 142
§ 4.8. Шпренгельные системы.... 146
§ 4.9. Трехшарнирные арочные фермы и комбинированные системы.... 152

Глава 5. Определение перемещений в упругих системах.... 159
§ 5.1. Работа виешних сил. Потенциальная энергия.... 159
§ 5.2. Теорема о взаимности работ.... 163
§ 5.3. Теорема о взаимности перемещений.... 166
§ 5.4. Определение перемещений. Интеграл Мора.... 168
§ 5.5. Правило Верещагина.... 173
§ 5.6. Примеры расчета.... 179
§ 5.7. Температурные перемещения.... 185
§ 5.8. Эиергетический прием определения перемещений.... 188
§ 5.9. Перемещения статически определимых систем, вызываемые перемещениями опор.... 189

Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом сил.... 193
§ 6.1. Статическая неопределимость.... 193
§ 6.2. Канонические у равнени я метода сил.... 199
§ 6.3. Расчет статически неопределимых систем на действие заданной нагрузки.... 202
§ 6.4. Расчет статически неопределимых систем на действие температуры.... 213
§ 6.5. Сопоставление канонических уравнений при расчете систем на перемещения опор.... 215
§ 6.6. Определениеперемещенийвстатическинеопределимыхсистемах.... 219
§ 6.7. Построение эпюр поперечных и продольных сил. Проверка эпюр.... 222
§ 6.8. Способ упругого центра.... 228
§ 6.9. Линии влияния простейших статически неопределимых систем.... 231
§ 6.10. Использование симметрии.... 238
§ 6.11. Группировка неизвестных.... 241
§ 6.12. Симметричные и обратносимметричные нагрузки.... 243
§ 6.13. Способ преобразования нагрузки.... 245
§ 6.14. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 247
§ 6.15. Примеры расчета рам.... 249
§ 6.16. «Модели» линий влияния усилий для неразрезных балок.... 263

Глава 7. Расчет статически неопределимых систем методами перемещений и смешанным.... 265
§ 7.1. Выбор неизвестных в методе перемещений.... 265
§ 7.2. Определение числа неизвестных.... 266
§ 7.3. Основная система.... 269
§ 7.4. Канонические уравнения.... 276
§ 7.5. Статический способ определения коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.... 280
§ 7.6. Определение коэффициентов и свободиых членов системы канонических уравнений перемножением эпюр.... 283
§ 7.7. Проверка коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений метода перемещений.... 286
§ 7.8. Построение эпюр M, Q и N в заданной системе.... 287
§ 7.9. Расчет методом перемещений на действие темцературы.... 288
§ 7.10. Использование симметрии при расчете рам методом перемещений.... 292
§ 7.11. Пример расчета рамы методом перемещений.... 295
§ 7.12. Смешанный метод расчета.... 302
§ 7.13. Комбинированное решение задач методами сил и перемещений.... 307
§ 7.14. Построение линий влияния методом перемещений.... 309

Глава 8. Полная система уравненнй строительной механики стержиевых систем и методы ее решения.... 313
§ 8.1. Общие замечания.... 313
§ 8.2. Составление уравнений равновесия, статические уравнения. Исследование образования систем.... 313
§ 8.3. Составление уравнений совместности, геометрические уравнения. Принцип двойственности.... 321
§ 8.4. Закон Гука. Физические уравнения.... 326
§ 8.5. Система уравнений строительной механики. Смешанный метод.... 328
§ 8.6. Метод перемещений.... 333
§ 8.7. Метод сил.... 341
§ 8.8. Уравнения теории упругости и их связь с уравнениями строительной механики.... 345

Глава 9. Расчет стержневых систем с использованием ЭВМ.... 352
§ 9.1. Вводные замечания.... 352
§ 9.2. Полуавтоматизированный расчет статически неопределимых систем с использованием калькуляторов.... 353
§ 9.3. Автоматизация расчета стержневых систем. Полная система уравнений строительной механики для стержня.... 363
§ 9.4. Матрицы реакций (жесткости) для плоских и пространственных стержней и их использование.... 372
§ 9.5. Описание учебного комплекса по расчету стержневых систем. Внутреннее и внешнее представление исходных данных. Блок-схема комплекса по расчету стержневых систем.... 389

Глава 10. Учет геометрической и физической нелинейности при расчете стержневых систем.... 397
§ 10.1. 0бщие замечания.... 397
§ 10.2. Расчет стержневых систем с учетом геометрической нелинейности.... 398
§ 10.3. Устойчивость стержневых систем.... 411
§ 10.4. Расчет стержневых систем с учетом физической нелинейности. Предельное состоянне.... 419

Глава 11. Метод конечных элементов (МКЭ) .... 435
§ 11.1. Общие замечания.... 435
§ 11.2. Связь МКЭ с уравнениями строительной механики.... 435
§ 11.3. Построение магрнц жесткости для решения плоской задачи теории упругости.... 456
§ 11.4. Предельный переход для плоской задачи.... 464
§ 11.5. Построение матриц жесткости для решения объемной задачи теории упругости.... 467
§ 11.6. Сложные элементы, построение матриц жесткости для элементов с искривленной границей.... 471
§ 11.7. Построение матриц реакций для расчета пластинок и оболочек.... 485
§ 11.8. Особенности комплексов для расчета конструкций по МКЭ. Суперэлементный подход.... 493

Глава 12. Основы динамики сооружений.... 501
§ 12.1. Виды динамических воздействий. Понятие о степенях свободы.... 501
§ 12.2. Свободные колебания систем с одной степенью свободы....
§ 12.3. Расчет систем с одной степенью свободы при действии периодической нагрузки.... 518
§ 12.4. Расчет систем с одной степенью свободы при действии произвольной нагрузки. Интеграл Дюамеля.... 524
§ 12.5. Движение системы с двумя степенями свободы. Приведение в системы с двумя степенями свободы к двум системам с одной степенью свободы.... 529
§ 12.6. Кинетическая энергия. Уравнение Лагранжа.... 536
§ 12.7. Приведение кинематического воздействия к силовому.... 544
§ 12.8. Сведение системы дифференциальных уравнений динамики к разделяющимся у равнениям с помощью решения проблемы собственных значений.... 546
§ 12.9. Метод постоянного ускорения и его использование для решения динамических задач.... 550

Глава 13. Сведения из вычислительной математики, используемые в строительной механике.... 554
§ 13.1. Общие замечания.... 554
§ 13.2. Матрицы, их виды, простейшие операции над матрицами.... 555
§ 13.3. Перемножение матриц. Обратная матрица.... 557
§ 13.4. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Разложение матрицы в произведение трех матриц.... 562
§ 13.5. Исследование систем линейных уравнений. Однородные уравнения. Решение n уравнений с m неизвестными с использованием метода Гаусса.... 574
§ 13.6. Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Производная от квадратичной формы.... 578
§ 13.7. Собственные числа и собственныеве векторы положительно определенной матрицы.... 581
§ 13.8. Однородные координаты и интегрирование по треугольной области.... 594
§ 13.9. Соотношения между тригонометрическими, гиперболическими функциями и экспоненциальной функцией.... 599
Заключение.... 600
Литература.... 601
Предметный указатель.... 602

Учебные пособия доступны для скачивания с ftp-сервера НГАСУ (Сибстрин). Материалы предоставлены . Пожалуйста, сообщайте о неработающих ссылках в сайта.

В.Г. Себешев. Строительная механика, часть 1 (лекции; презентационные материалы)

В.Г. Себешев. Строительная механика, часть 2 (лекции; презентационные материалы)
скачать (22 Мб)

В.Г. Себешев. Динамика и устойчивость сооружений (лекции; презентационные материалы для специальности СУЗИС)

В.Г. Себешев. Кинематический анализ сооружений (учебное пособие) 2012
скачать (1.71 Мб)

В.Г. Себешев. Статически определимые стержневые системы (методические указания) 2013

В.Г. Себешев. Расчёт деформируемых стержневых систем методом перемещений (методические указания)

В.Г. Себешев, М.С. Вешкин. Расчёт статически неопределимых стержневых систем методом сил и определение перемещений в них (методические указания)
скачать (533 Кб)

В.Г. Себешев. Расчёт статически неопределимых рам (методические указания)
скачать (486 Кб)

В.Г. Себешев. Особенности работы статически неопределимых систем и регулирование усилий в конструкциях (учебное пособие)
скачать (942 Кб)

В.Г. Себешев. Динамика деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс (учебное пособие) 2011
скачать (2.3 Мб)

В.Г. Себешев. Расчет стержневых систем на устойчивость методом перемещений (учебное пособие) 2013
скачать (3.1 Мб)

SM-COMPL (программный комплекс)

Кучеренко И.В. Харинова Н.В. часть 1. направления 270800.62 «Строительство»

Кучеренко И.В. Харинова Н.В. часть 2. (Методические указания и контрольные задания для студентов направления 270800.62 «Строительство» (профили "ТГиВ", "ВиВ", "ГТС" всех форм обучения)).

Кулагин А.А. Харинова Н.В. СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА Часть 3. ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

(Методические указания и контрольные задания для студентов направления подготовки 08.03.01 «Строительство» (профиль ПГС) заочной формы обучения )

В.Г. Себешев, А.А. Кулагин, Н.В. Харинова ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

(Методические указания для студентов, обучающихся по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений» заочной формы обучения)

Крамаренко А.А., Широких Л.А.
ЛЕКЦИИ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ, ЧАСТЬ 4
НОВОСИБИРСК, НГАСУ, 2004
скачать (1,35 Мб)

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ СМЕШАННЫМ МЕТОДОМ
Методические указания к индивидуальному заданию для студентов специальности 2903 «Промышленное и гражданское строительство» дневной формы обучения
Методические указания разработаны к.т.н, доцентом Ю.И. Канышевым, к.т.н, доцентом Н.В. Хариновой
НОВОСИБИРСК, НГАСУ, 2008
скачать (0,26 Мб)

РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Методические указания по выполнению индивидуального расчетного задания по курсу "Строительная механика" для студентов специальности 270102 "Промышленное и гражданское строительство"
Методические указания разработаны канд. техн. наук, профессором А.А. Крамаренко, ассистентом Н.Н. Сивковой
НОВОСИБИРСК, НГАСУ, 2008
скачать (0,73 Мб)

В.И. Роев
РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ И ДИНАМИЧЕСКИ НАГРУЖЕННЫХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА DINAM
Учебное пособие
Новосибирск, НГАСУ, 2007

Задача. Для статически неопределимой рамы построить эпюры М , Q , N и выполнить проверки.Задано соотношение I 2 =2I 1

Заданная система. Жесткость у стержней рамы разная. Примем I 1 =I , тогда I 2 =2I .

1.Определим степень статической неопределимости заданной системы по :

n =ΣR -Ш -3 =5-0-3=2.

Система 2 раза статически неопределима , и для её решения потребуется два дополнительных уравнения.

Это канонические уравнения метода сил:

2.Освободим заданную систему от «лишних» связей и получим основную систему . За «лишние» связи в данной задаче примем опору А и опору С .

Теперь основную систему следует преобразовать в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной.

Для этого загрузим основную систему заданной нагрузкой , действия «лишних» связей заменим их неизвестными реакциями Х 1 и Х 2 и вместе с системой канонических уравнений (1) данная система будет эквивалентна заданной .

3.По направлению предполагаемой реакции отброшенных опор к основной системе поочередно прикладываем единичные силы Х 1 =1 и Х 2 =1 и строим эпюры .

Теперь основную систему загрузим заданной нагрузкой и построим грузовую эпюру М F .

М 1 =0

М 2 = -q ·4·2 = -16кНм (сжатые волокна внизу)

М 3 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна внизу)

М 4 = -q ·8·4 = -64кНм (сжатые волокна справа)

М 5 = -q ·8·4-F ·5 = -84кНм (сжатые волокна справа).

4.Определяем коэффициенты и свободные члены канонического уравнения по формуле Симпсона перемножением эпюр (обращаем внимание на разные жесткости участков).

Подставляем в каноническое уравнение , сокращаем на ЕI .

Поделим первое и второе уравнения на сомножители при Х 1 , а затем из одного уравнения вычтем второе. Найдем неизвестные.

Х 2 =7,12кН , тогда Х 1 =-1,14 кН .

Строим окончательную эпюру моментов по формуле:

Сначала строим эпюры :

Тогда эпюра М ок

Проверки окончательной эпюры моментов (М ок ).

1.Статическая проверка – методом вырезания жестких узлов рамы – они должны находиться в равновесии .

Узел находится в равновесии.

2. Деформационная проверка.

где М S – суммарная эпюра единичных моментов , для её построения одновременно к основной системе прикладываем Х 1 =1 и Х 2 =1.

Физический смысл деформационной проверки – перемещения по направлению всех отброшенных связей от действия неизвестных реакций и всей внешней нагрузки должны быть равны 0.

Строим эпюру М S .

Выполняем деформационную проверку по ступеням :

Построение Эп Q по Эп М ок .

Эп Q строим по формуле :

Если на участке нет равномерно-распределенной нагрузки, то применяем формулу :

где М пр – момент правый,

М лев – момент левый,

ℓ — длина участка.

Разобьем Эп М ок на участки:

IV участок (с равномерно-распределенной нагрузкой).

Зарисуем IV участок отдельно как балку и нанесем моменты.

z меняется от 0 до ℓ

Строим ЭпQ:

Построение Эп N по Эп Q .

Вырезаем узлы рамы , показываем поперечные силы с эпюры Q и уравновешиваем узлы продольными силами .

Строим Эп N .

Общая статическая проверка рамы. На заданной схеме рамы показываем значения опорных реакций с построенных эпюр и проверяем по уравнениям статики .

Все проверки сошлись. Задача решена.

Уравнение для параболы :

Рассчитываем ординаты для всех точек.

Начало прямоугольной системы координат положим в т.А (левая опора), тогда х А =0, у А =0

По найденным ординатам строим арку в масштабе.

Формула для параболы :

Для точек А и В :

Представим арку в виде простой балки и определим балочные опорные реакции (с индексом «0» ).

Распор Н определим из уравнения относительно т. С , используя свойство шарнира .

Таким образом, реакции арки :

Для того, чтобы проверить правильность найденных реакций составим уравнение:

Определение по формуле:

К примеру, для т. А :

Определим балочные поперечные силы во всех сечениях:

Тогда арочные поперечные силы:

Статически определимые многопролетные шарнирно-консольные балки (ШКБ).

Задача. Построить эпюры Q и M для статически определимой многопролетной балки (ШКБ).

Проверим статическую определимость балки по формуле: n =С оп -Ш -3

где n – степень статической определимости ,

С оп – количество неизвестных опорных реакций ,

Ш — количество шарниров ,

3 – количество уравнений статики .

Балка опирается на одну шарнирно неподвижную опору (2 опорные реакции) и на три шарнирно подвижных опоры (в каждой по одной опорной реакции). Таким образом: С оп = 2+3=5 . Балка имеет два шарнира, значит, Ш =2

Тогда n =5-2-3=0 . Балка является статически определимой .

Строим этажную схему балки, для этого заменяем шарниры шарнирно неподвижными опорами.

Шарнир – это место стыка балок, и, если посмотреть на балку с этой точки зрения, то многопролетную балку можно представить в виде трех отдельных балок .

Обозначим опоры на этажной схеме буквами.

Балки, которые опираются только на свои опоры , называются основными . Балки, которые опираются на другие балки , называются подвесными . Балка СD – основная , остальные – подвесные .

Расчет начинаем с балок верхних этажей, т.е. с подвесных . Влияние верхних этажей на нижние передается с помощью реакций с обратным знаком .

3. Расчет балок.

Каждую балку рассматриваем отдельно , строим для нее эпюры Q и М . Начинаем с подвесной балки АВ .

Определяем реакции R А , R В .

Наносим реакции на схему.

Строим Эп Q методом сечений .

Строим Эп М методом характерных точек .

В точке, где Q =0 на балке обозначим точку К – это точка, в которой М имеет экстремум . Определим положение т.К , для этого приравниваем уравнение для Q 2 к 0 , а размер z заменим на х .

Рассмотрим еще одну подвесную балку – балку ЕР .

Балка ЕР относится к , эпюры для которых известны.

Теперь рассчитываем основную балку СD . В точках В и Е передаем на балку СD с верхних этажей реакции R В и R Е , направленные в обратную сторону.

Рассчитываем реакции балки СD .

Наносим реакции на схему.

Строим эпюру Q методом сечений .

Строим эпюру М методом характерных точек .

Точку L поставим дополнительно в середине левой консоли – она загружена равномерно распределенной нагрузкой, и для построения параболической кривой требуется дополнительная точка .

Строим эпюру М .

Строим эпюры Q и М для всей многопролетной балки , при этом не допускаем переломов на эпюре М . Задача решена.

Статически определимая ферма. Задача . Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели , а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d =2м; h =3м; ℓ =16м; F =5кН .

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В , нанесем опорные реакции R А и R В .

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична , реакции будут равны между собой:

, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М А =0 (находим R В ), ∑М В =0 (находим R А ), ∑у =0 (проверка) .

Теперь обозначим элементы фермы:

«О » — стержни верхнего пояса (ВП),

«U » — стержни нижнего пояса (НП),

«V » — стойки ,

«D » — раскосы .

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О 4 — усилие в стержне верхнего пояса; D 2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О 2 , D 1 , U 2 (стержни второй панели), усилие в стойке V 2 , а также усилие в срединной стойке V 4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

Метод моментной точки (метод Риттера),
Метод проекций,
Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда , когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням - О 2 , D 1 , U 2 . Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки . Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней , попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О 2 .

Моментной точкой для О 2 будет т.14 , т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D 1 и U 2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О 2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О 2 – сжат .

Определяем усилия в стержне U 2 . Для U 2 моментной точкой будет т.2 , т.к. в ней пересекаются два других стержня — О 2 и D 1 .

Теперь определяем моментную точку для D 1 . Как видно из схемы, такой точки не существует , поскольку усилия О 2 и U 2 не могут пересекаться , т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим .

Воспользуемся методом проекций . Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У . Для проекции на данную ось раскоса D 1 потребуется знать угол α . Определим его.

Определим усилие в правой стойке V 2 . Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2 , оно проходит через стержни О 3 , V 2 , U 2 . Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим , применим метод проекций . Спроектируем все силы на ось У .

Теперь определим усилие в срединной стойке V 4 . Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов . Стойка V 4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11 . Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V 4 направим по оси У ). Усилия, как и прежде, направляем от узла , предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х =0, -U 4 + U 5 =0, U 4 = U 5

∑у =0, V 4 =0.

Таким образом, стержень V 4 - нулевой .

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0 .

Правила определения нулевых стержней — смотреть .

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны .

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения .

Статически неопределимая балка. Построить эпюры Q и M для статически неопределимой балки

Определим степень статической неопределимости n= С оп — Ш — 3= 1.

Балка 1 раз статически неопределима, значит для её решения требуется 1 дополнительное уравнение.

Одна из реакций является «лишней» . Для раскрытия статической неопределимости сделаем следующее: за «лишнюю» неизвестную реакцию примем реакцию опоры В . Это реакция R b . Выбираем основную систему (ОС) путём отбрасывания нагрузок и «лишней» связи (опоры В). Основная система – статически определимая .

Теперь основную систему нужно превратить в систему, эквивалентную (равнозначную) заданной, для этого: 1) загрузим основную систему заданной нагрузкой, 2) в точке В приложим «лишнюю» реакцию R b . Но этого недостаточно, поскольку в заданной системе т.В неподвижна (это опора), а в эквивалентной системе – может получать перемещения. Составим условие, по которому прогиб точки В от действия заданной нагрузки и от действия «лишней» неизвестной должен быть равен 0 . Это и будет дополнительное уравнение совместности деформаций .

Обозначим прогиб от заданной нагрузки Δ F , а прогиб от «лишней» реакции Δ Rb .

Тогда составим уравнение Δ F + Δ Rb =0 (1)

Вот теперь система стала эквивалентной заданной.

Решим уравнение (1) .

Чтобы определить перемещение от заданной нагрузки Δ F :

1) Загружаем основную систему заданной нагрузкой .

2) Строим грузовую эпюру .

3) Снимаем все нагрузки и в точке В, где требуется определить перемещение прикладываем единичную силу . Строим эпюру единичных сил .

(эпюра единичных моментов уже была построена ранее)

Решаем уравнение (1), сокращаем на EI

Статическая неопределимость раскрыта , значение «лишней» реакции найдено. Можно приступать к построению эпюр Q и M для статически неопределимой балки... Зарисовываем заданную схему балки и указываем величину реакции R b . В данной балке реакции в заделке можно не определять, если идти ходом справа.

Построение эпюры Q для статически неопределимой балки

Строим эпюру Q.

Построение эпюры М

Определим М в точке экстремума – в точке К . Сначала определим её положение. Обозначим расстояние до неё как неизвестное «х ». Тогда

Внутренние и внешние (опоры) связи

Связи в расчетных схемах инженерных конструкций строительной механики, которые соединяют друг с другом отдельные ее части (стержни, пластины и т.д.) называются внутренними .

Виды внутренних связей:

2) отбросить более сложную часть (где больше сил) и для дальнейшего расчета используют более простую часть стержня;

3) составить уравнения равновесия;

4) решая полученные уравнения, определить внутренние усилия M, Q, N ;

5) построить эпюры M, Q, N по найденным значениям внутренних усилий.
Метод совместных сечений

Данный метод применяется при расчете составных систем.

Например, при расчете трехдисковой рамы (рис. 2, а) проводятся три совместных сечения I, II, III . В точках рассечения междисковых связей появляются 9 реакций (рис. 2, б): реакции в опорах R 1 , R 2 , H и реакции X 1 , X 2 , X 3 ,Y 1 , Y 2 , Y 3 . Величины данных реакций определяются посредством составления уравнений равновесия.

Рисунок 2. Метод совметсных сечений

1) провести через несколько точкек для рассматриваемой системы разрезы, деля данную конструкцию на составные части;

2) отметить возникшие реакции в рассеченных связях;

3) для каждой полученной составной части диска составить уравнения равновесия;

5) построить эпюры для каждой составной части заданной конструкции;

6) построить совместные эпюры для всей системы.

Метод вырезания узла

Данный метод применяется при расчете внутренних усилий в простых системах.

Алгоритм расчета данным методом:

1) можно вырезать узел только с двумя стержнями , сходящимися в нем, внутренние усилия в которых неизвестны;

2) продольные силы, действующие в узле, проецируются на соответствующие оси (для плоской системы x и y);

3) решая составленные уравнения, определяют неизвестные внутренние усилия.

Метод замены связей

Данный метод применяется при определении внутренних усилий в сложных статически определимых систем, для расчета которых использовать выше перечисленные способы трудно.

Алгоритм расчета данным методом:

1) сложная система преобразуется в более простую посредством перемещения связей;

2) из условия равенства изначально заданной и заменяющей систем определяется внутреннее усилие в переставленной связи;

3) полученная система рассчитывается одним из выше описанных способов.

Примеры задач с решениями.
С. Задача 1

Подробнее: С. Задача 1

С. Задача 2

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Подробнее: С. Задача 2

С. Задача 3

Построить эпюры внутренних усилий для однопролетной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 3

С. Задача 4

Построить эпюры внутренних усилий для консольной ломаной балки.

Подробнее: С. Задача 4

Примеры с решениями.

С. Задача 1

Построить эпюры внутренних усилий для балки.

Однопролетная балка

1) Определяем реакции в опорах:

Т.к., значение реакции R A получилось отрицательным, то меняем ее направление на расчетной схеме (новое направление обозначаем пунктирной линией), учитывая в дальнейшем новое направление и положительное значение этой реакции.

Проверка: